I have a cold.
は、いまの状態として「風邪ひいてる」という意味ですね。
これでOKなのですが、
もし、「先週からずっと風邪ひいている」なんてシャレた表現で言うなら、現在完了形を使います。
I’ve had a cold since last week.
現在完了形は、現在形の仲間。
視点は現在です。
今から過去を振り返って、「あ～ずっとひいてるなあ」と言いたい場合ですね。
I have a cold since last week.は間違いですよ。現在形にsince last week（先週以来）は使えません。
それなら、いさぎよく（笑）現在完了ではなく、過去形と現在形を使って２つで言えば同じ意味ですね。
I caught a cold last week. 先週風邪ひいた。
I have a cold. いま風邪ひいてる。
く～なかなか風邪なおらないなあ（涙）