Lucky you!ってinterchangeのテキストにも出てきますね。
ハワイに１週間行ったんだ〜というバケーションの話のとこ。
Lucky you!は相手に良いことがあって、それに「ラッキーだね、良かったね！」と言うときに使えます。
I’m happy for you.とI’m proud of you.も相手に良いことがあって「良かったね！」という意味ですが、相手に起こった良いことの質が違います。
たとえば、相手が昇進したとか、難しい試験に合格したと言うときには、Lucky you!は軽すぎます。
あくまでLuck(幸運）で本人の努力とは無関係なので、運が良かったねと聞こえます。
努力して成し遂げたことにはI’m happy for you.とI’m proud of you.がいいですね。