keepは、「保つ」という意味ですね。
通常、keep 動詞ingで「〜し続ける」で使います。
I keep studying English. 英語を勉強し続ける。
でも、「keep 形容詞」で使うとき、「stay 形容詞」とニュアンスがちょっと違います。
keepは「努力して〔意志をもって］そのままでいる」。stayは「自然と〔客観的に］そのままでいる」
I exercise everyday to keep young.
I stay young because I have a dream.
どちらも「若くいる」という意味。
入れかえても正しいです。
keepを使う人にはそのままでいようという意志を感じ、stayを使う人には結果的に自然とそのままでいる感じがします。
どちらを使っても間違いではなく、ただ使う人の気持ちです。
「連絡取り合おうね」というKeep in touch. とStay in touch.も同じ感じです。
keepを使うと、連絡が途切れる環境にならないように気をつけておこうねって感じが入ります。
stayだと、今のまま連絡取っておこうねって感じです。
どちらも使われるし、人によりますね。